(n!)! no es igual a n!! y Gemini se equivoca

Se suele decir que no te acostarás sin saber una cosa más... Pues bien, esto es lo que yo he aprendido hoy: la existencia del doble y triple factorial.

Pidamos a Gemini que nos explique la diferencia entre el factorial y el doble factorial:

Factorial vs. Doble Factorial

El factorial y el doble factorial son operaciones matemáticas que se utilizan en combinatoria y otras áreas de las matemáticas. Aunque están relacionadas, tienen diferencias importantes.

Factorial

El factorial de un número natural n, representado como n!, es el producto de todos los números naturales desde n hasta 1.

Fórmula: n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1

Ejemplo: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Doble Factorial

El doble factorial de un número natural n, representado como n!!, es el producto de todos los números naturales desde n hasta 1, pero saltando de dos en dos.

Fórmula:
Para n par: n!! = n * (n-2) * (n-4) * ... * 4 * 2
Para n impar: n!! = n * (n-2) * (n-4) * ... * 3 * 1

Ejemplo: 5!! = 5 * 3 * 1 = 15, mientras que 6!! = 6 * 4 * 2 = 48

El doble factorial no debe confundirse con la función factorial iterada dos veces.
Por ejemplo: calculemos (5!)! vs 5!!.
Empecemos por (5!)!:

• 5! (factorial de 5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
• (5!)! es lo mismo que 120!

¿Y cuanto es 5!!? Pues simplemente: 5!! = 5*3*1 = 15

Por supuesto, tambien existe el triple factorial.
Ahí va la respuesta de Gemini a mi requerimiento:

Triple Factorial (n!!!)

Producto de números naturales desde n hasta 1, saltando de tres en tres

5!!! = 5

Y aquí Gemini se ha equivocado , porque 5!!!= 5.2 = 10

Una vez aclarado el concepto de doble y triple factorial, les dejo el ejercicio que nos propone Andy Math en Youtube y gracias al cual he aprendido estos conceptos:

La meticulosidad de Damián

Damián nos regaña -con razón- por proceder "mecánicamente" en matemáticas. Hacerlas porque sí, porque así nos lo dijeron en su día.

 

  El Traductor de Ingeniería es un canal de Youtube obligatorio para todo aquel que quiera aprender a pensar. 

Para mi vergüenza diré que yo hubiera apostado por la respuesta A. Porque así me lo explicaron .

Otra forma de ver los logaritmos

Eddie Woo[Canal Youtube] se presenta de una forma muy sucinta:

I teach mathematics at a comprehensive public high school in Sydney, Australia.

Pero no se dejen engañar por su modestia, Woo es un excelente profesor. De esos que te deja maravillado por hacerte ver las cosas más complicadas de una forma nueva y sugerente.
En este vídeo, por ejemplo, nos explica los logaritmos desde un punto de vista interesantísimo:



Me pregunto cuanta gente no odiaría las matemáticas con profesores como Woo.
También me pregunto si el sistema educativo permite/tolera esta innovación y , es más, si el sistema los incentiva.
Definitivamente es uno de esos profesores que me habría gustado tener.

Bajada curiosa

La noticia es El consumo de televisión se desploma de su cima al ritmo de la desescalada y el fin del confinamiento:

Sin embargo, la bajada de consumo más significativa estuvo en el grupo de edad de entre 45 y 64 años, que han bajado su consumo en un 117%, seguidos de los mayores de 64, con un -93%.

Esto de superar el 100% en una bajada siempre me ha parecido muy curioso.

Sudokus, Cuadrados mágicos y Saltos de Caballo

No sé cómo he llegado al vídeo, pero me alegró la mañana:




Tal como pueden comprobar, se trata de resolver un Sudoku en el que sólo tenemos cuatro números de partida. Pero también tenemos otras restricciones que hacen posible la solución única.

1. En las diagonales principales -señaladas en azul- también encontraremos los números del 1 al 9.
   
2. Anti Caballo : no puede haber números iguales a «salto de caballo». Explicado con un ejemplo:
   
   
   
   
3. El cuadrado central - señalado en gris- es mágico. Filas, columnas y diagonales deben sumar lo mismo.

Sin duda, es esta última condición la que me ha parecido más interesante : el Cuadrado Mágico [Wikipedia].

Aunque Simon Anthony lo explica muy bien (en inglés, eso sí), voy a intentar entrar en el detalle de cómo calcular este cuadrado central con las condiciones de este Sudoku.

Como es mágico, decimos por definición que filas, columnas y diagonales deben sumar lo mismo. ¿Cuanto?

El cuadrado total suma: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
Como tenemos tres filas/columnas cada una de ellas debe sumar : 45/3 = 15 . También, las diagonales, no lo olvidemos.

Fijémonos ahora en la casilla central del cuadrado [Celda B2]

¿Tenemos alguna pista del número que lo ocupa? Pues sí. El número está incluido en cuatro formas/combinaciones: está en la fila y columnas centrales [ fila2 y columnaB, respectivamente] así como en ambas diagonales .

Hagamos algo de trabajo. Veamos TODAS las combinaciones de tres números que nos dan 15 sumándolos y calculemos en cuantas combinaciones encontramos cada número .

El número 5 es el único que está repetido 4 veces. Por lo tanto, es el que debe ocupar la celda central B2.

Sigamos.
¿Qué números estarán en los vértices [celdas A1, A3, C1 y C3? Estos números estarán tres veces: en una fila, en una columna y una diagonal. Los tenemos calculados : el 2, 4, 6 y 8.
¿ Y en las cruces [Celdas B1 B3 A2 C2]? Los que están en dichas celdas sólo deben estar dos veces: en una fila y una columna. Son el 1, 3, 7 y 9.

El cuadro queda como sigue:

Ya tenemos todo lo necesario. Resolvámoslo:

1. Celda A1: Pueden estar el 2 4 6 8 pero en el cuadro de su izquierda nos han dado los los números 3 8 4 por lo que solo restan el 2 y el 6; pero el 2 tampoco puede ser,  ya  que lo tenemos en la diagonal principal.  Por lo que solo puede ser el 6.
   
2. Celda C1: descartando el 6 4 8, nos queda el 2    
3. Celda B1: Como la fila 1 (A1 B1 C1) debe cumplir A1+ B1+C1= 15 por ser un cuadrado mágico, tenemos  6+ B1+ 2= 15 . Luego B1= 7. 
Hasta ahora :

4. Pues ya lo tenemos todo. Veamos por ejemplo las diagonales:
   
   • Diagonal principal [A1 B2 C3]. 15= A1+B2+C3= 6+5+C3 ;  C3 = 4
     
   • La otra [C1 B2 A3]. 15= C1+B2+A3 = 2+5+ A3 ; A3 = 8
     
     
     
     
     
     
     

El resto es sencillo.
El cuadro mágico quedará:

Creo que la clave ha sido calcular todas las posibles combinaciones.

Un Sudoku absolutamente genial en su planteamiento.